Coeficiente Binomial C(n,k)

Coeficiente binomial C(n,k)

O coeficiente binomial C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!) diz de quantas maneiras dá para escolher k elementos de um conjunto de n quando a ordem não conta. Dispondo os coeficientes, surge o triângulo de Pascal, em que cada entrada é a soma das duas que estão logo acima. Exemplo: C(5,2) = 5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10. Algumas identidades ajudam bastante: C(n,k) = C(n,n−k) (simetria), C(n,0) = C(n,n) = 1, Σₖ C(n,k) = 2ⁿ (uma linha inteira do triângulo de Pascal) e Σₖ C(n,k)² = C(2n,n) (Vandermonde). O binômio de Newton escreve (a+b)ⁿ = Σₖ C(n,k) · a^(n−k) · bᵏ. Quando n fica grande, vale mais calcular o valor passo a passo, multiplicando e dividindo conforme avança, do que montar os fatoriais inteiros.

Aplicações

C(n,k) aparece por toda parte. É o alicerce da análise combinatória (contagem de subconjuntos), move a probabilidade pela distribuição binomial (k sucessos em n tentativas) e define as chances nas loterias (a Mega-Sena tem C(60,6) = 50.063.860 combinações possíveis). Você também o encontra em algoritmos de enumeração de subconjuntos e na expansão polinomial pelo binômio de Newton.

Perguntas frequentes

E se k > n ou k < 0? Por convenção, C(n,k) = 0. Não dá para escolher mais elementos do que o conjunto guarda.

A ordem importa: combinação ou permutação? As permutações P(n,k) = n!/(n−k)! contam arranjos ordenados, enquanto C(n,k) = P(n,k)/k! tira a ordem de volta. Loterias usam C, rankings usam P.

Como calcular C(n,k) sem fatoriais enormes? Recorra a C(n,k) = (n · (n−1) · ... · (n−k+1)) / k!. São apenas k termos, e você nunca precisa materializar o n! inteiro.