Módulo e Fase de Complexo
Para z = a + bi, calcula |z| = √(a²+b²) e arg(z) = atan2(b,a).
|z| + arg(z)
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Módulo e fase: a forma polar de um número complexo
Pegue z = a + bi. O módulo é |z| = √(a² + b²), ou seja, a distância euclidiana até a origem no plano de Argand. Já o argumento, a fase, é arg(z) = atan2(b, a), o ângulo orientado a partir do eixo real positivo. O uso de atan2 em vez de um arco-tangente simples é o que faz a conta acertar os quatro quadrantes. Os dois juntos dão a forma polar z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ), com r = |z| e θ = arg(z). Essa versão exponencial vem da fórmula de Euler (1748). Para ver na prática, tome z = 1 + i: dá |z| = √2 e arg(z) = π/4, logo z = √2·e^(iπ/4).
Aplicações: sinais, circuitos AC e síntese
A forma polar aparece onde amplitude e fase precisam andar juntas. No processamento de sinais, cada senoide vira um fasor que carrega as duas. A FFT se apoia nas potências das raízes da unidade e^(2πik/N). Na eletrônica AC, a impedância reúne resistência e reatância num único par módulo-fase; já os filtros digitais são lidos em diagramas de polos e zeros, e os sintetizadores FM funcionam modulando a fase de um oscilador complexo.
Perguntas frequentes
Radianos ou graus? A matemática trabalha em radianos por padrão, enquanto a engenharia costuma optar por graus. Para trocar, use deg = rad·180/π.
O que é o argumento principal? É o único valor de arg(z) que cai em (−π, π], justamente o que atan2 devolve.
O que acontece em z = 0? O módulo |z| = 0 e o argumento fica indefinido, já que qualquer ângulo serviria.
Por que a forma polar é útil em produtos? Porque a multiplicação se reduz a r₁r₂·e^(i(θ₁+θ₂)): você multiplica os módulos e soma os argumentos.
Ferramentas Relacionadas
Cristalinidade por Densidade
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