Calculadora de distribuição normal Z e percentil

Distribuição normal: escore z e percentil

O escore z padroniza um valor x de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ: Z = (x − μ) / σ. A função cumulativa Φ(z) retorna o percentil — a área sob a curva à esquerda de z. Marcos essenciais: z = 1,96 dá Φ ≈ 0,975 (percentil 97,5, base do intervalo de confiança bilateral de 95%), e z = 2,576 dá 99,5%. A regra 68–95–99,7: cerca de 68% dos valores estão a até 1σ da média, 95% a até 2σ e 99,7% a até 3σ. Exemplo: QI ~ N(100, 15). Para x = 120, z = (120 − 100)/15 ≈ 1,333, Φ(1,333) ≈ 0,909 — percentil 90,9.

Aplicações

Testes de hipóteses e intervalos de confiança, pontuação em testes padronizados (o ENEM usa TRI com média 500 e σ = 100), controle estatístico Seis Sigma, risco financeiro (VaR) e padronização de variáveis em machine learning.

Perguntas frequentes

O que é um z "bom"? Depende do contexto. Para detectar outliers, |z| > 3 é incomum. Em teste de hipótese com α = 0,05 (bilateral), |z| > 1,96 rejeita a nula.

Por que Φ não tem forma fechada? A CDF normal é a integral de e^(−t²/2) sem primitiva elementar. Usam-se tabelas, aproximações numéricas (Abramowitz & Stegun) e a função erf.

Teste z ou teste t? Use z quando σ é conhecido (raro) ou a amostra é grande (n > 30) pelo teorema central do limite. Caso contrário, use t de Student.

E se os dados não forem normais? Verifique com Q-Q plot ou Shapiro-Wilk. Transformações (log, Box-Cox) costumam ajudar; senão, use testes não paramétricos.