Produto Vetorial 3D (Cross)

Produto vetorial u × v em 3D

O produto vetorial pega dois vetores 3D, u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃), e devolve o vetor u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁). O que sai daí é perpendicular ao plano gerado por u e v, e seu módulo |u × v| = |u|·|v|·sen θ coincide com a área do paralelogramo que os dois vetores formam. Para saber para que lado ele aponta, vale a regra da mão direita: aponte os dedos de u em direção a v e o polegar cai em u × v. Por exemplo, (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1), o velho conhecido x̂ × ŷ = ẑ. Algumas propriedades para guardar: é anti-comutativo, então u × v = -(v × u); vetores paralelos dão u × v = 0; e ele distribui sobre a soma. O produto escalar funciona em qualquer dimensão, mas o vetorial só vive mesmo em 3D (7D é uma exceção esquisita).

Aplicações

Ele aparece bastante na mecânica: torque τ = r × F, momento angular L = r × p e a força magnética sobre uma carga em movimento F = qv × B (a força de Lorentz). Na computação gráfica 3D, você calcula normais a superfícies a partir de dois vetores das arestas para tratar a iluminação. Ele também dá a área de um triângulo como A = ½|u × v| e um teste rápido de colinearidade de três pontos: o produto vetorial de dois vetores das arestas dá zero.

Perguntas frequentes

Por que o produto vetorial é um vetor e o escalar é um número? O produto vetorial carrega duas informações ao mesmo tempo, uma magnitude (a área) e uma orientação no espaço (a direção perpendicular). Já o escalar só mede o quanto um vetor se projeta sobre o outro, e isso se resume a um único número.

O que significa u × v = 0? Uma de duas coisas. Ou um dos vetores é nulo, ou u e v estão sobre a mesma reta, com sen θ = 0. Um vetor multiplicado por ele mesmo, u × u, dá 0 sempre.

Existe u × v em 2D? Como vetor, não. O que aparece no lugar é um escalar, u₁v₂ - u₂v₁ (a componente z que você veria na versão 3D), e ele dá a área orientada do paralelogramo.