Calculadora de Arco Cosseno

O que é o Arco Cosseno?

O arco cosseno (arccos) é a função inversa do cosseno: dado um valor x, retorna o ângulo θ tal que cos(θ) = x. O resultado está sempre no intervalo [0°, 180°].

Exemplos: arccos(1) = 0°, arccos(0,5) = 60°, arccos(0) = 90°, arccos(−1) = 180°.

Domínio: −1 ≤ x ≤ 1. Valores fora desse intervalo não têm arco cosseno real.

A função arco-cosseno

O arco-cosseno devolve o ângulo cujo cosseno é igual a um valor dado: acos(x) = θ tal que cos(θ) = x. Seu domínio é [−1, 1] e o contradomínio convencional é [0, π], ou seja, de 0° a 180°. Notações comuns: acos, cos⁻¹ e arccos. Como o cosseno não é injetor em todo o seu domínio, a inversa é restrita a um ramo principal. A derivada vale (acos x)' = −1/√(1 − x²) e a identidade complementar é asen(x) + acos(x) = π/2. Exemplo: acos(0,5) = 60°.

Aplicações: vetores, geodésia e 3D

Um uso clássico é o ângulo entre vetores a partir do produto escalar: θ = acos((u·v)/(|u||v|)), fundamental em física, animação 3D e visão computacional. A distância em grande círculo entre dois pontos da Terra também é calculada via d = R·acos(sen φ₁ sen φ₂ + cos φ₁ cos φ₂ cos Δλ). O arco-cosseno também aparece em espectroscopia ao calcular índices de refração e ângulos de incidência, e em robótica para ângulos de junta em cinemática inversa.

Perguntas frequentes

Por que o domínio é restrito a [−1, 1]? Porque o cosseno só assume valores nesse intervalo — não existe ângulo real cujo cosseno seja maior que 1 ou menor que −1.

Por que o contradomínio é [0°, 180°] e não [−90°, 90°]? Para que a inversa seja unívoca escolhe-se o ramo principal onde o cosseno é estritamente decrescente — esse ramo cobre [0, π].

Qual a diferença entre acos e 1/cos? São coisas diferentes. acos(x) é a função inversa, enquanto 1/cos(x) = sec(x) é o inverso multiplicativo.

Como se relaciona com asen? Pela identidade complementar asen(x) + acos(x) = π/2.