Calculadora de Arco Tangente

O que é o Arco Tangente?

O arco tangente (arctan ou arctg) é a função inversa da tangente: dado um valor x, retorna o ângulo θ tal que tan(θ) = x. O resultado está sempre no intervalo (−90°, 90°).

Exemplos: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(√3) = 60°. Aceita qualquer número real — o domínio é (−∞, +∞).

À medida que x → +∞, arctan(x) → 90°. À medida que x → −∞, arctan(x) → −90°.

A função arco-tangente

O arco-tangente é a inversa da tangente: atan(x) = θ tal que tan(θ) = x. O domínio é todo o conjunto dos reais ℝ e o contradomínio é o intervalo aberto (−π/2, π/2), o que significa que o gráfico tem assíntotas horizontais em ±π/2. Exemplo: atan(1) = π/4 = 45°. A derivada é (atan x)' = 1/(1 + x²), e a série de Maclaurin vale atan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − ... (Gregory–Leibniz). A convergência é lenta, mas substituindo x = 1 obtém-se a famosa série de Leibniz π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − .... Em programação, atan2(y, x) é a variante de dois argumentos que retorna o ângulo no quadrante correto, em (−π, π] — essencial para coordenadas polares e gráficos.

Aplicações: visão computacional, navegação e sinais

O arco-tangente (especialmente atan2) é usado em visão computacional para calcular o ângulo entre uma câmera e um ponto, em navegação para obter o rumo de bússola a partir de um vetor de direção, em processamento de sinais para extrair a fase de um número complexo, e em análise de terreno para converter um gradiente em ângulo de inclinação.

Perguntas frequentes

Por que o contradomínio nunca atinge ±π/2? Porque a própria tangente diverge para ±∞ nesses ângulos — a inversa se aproxima desses valores como assíntotas, mas nunca os alcança.

Qual a diferença entre atan e atan2? atan(y/x) perde a informação de sinal de x e y, retornando um valor em (−π/2, π/2). atan2(y, x) usa os dois argumentos para identificar o quadrante correto, retornando um valor em (−π, π].

Como funciona a série de Leibniz para π? Ela vem de integrar a série geométrica 1/(1+t²) = 1 − t² + t⁴ − ... de 0 até 1, resultando em atan(1) = π/4. Converge, mas muito lentamente — útil como curiosidade, não para cálculo rápido de π.

O arco-tangente é uma função ímpar? Sim: atan(−x) = −atan(x), o que decorre de a tangente ser ímpar.