Distribuição de Poisson
Calcula P(X = k) e P(X ≤ k) na distribuição de Poisson com parâmetro λ. Útil para modelar contagens raras.
Distribuição de Poisson: contagem de eventos raros
A distribuição de Poisson conta quantos eventos caem num intervalo fixo de tempo, espaço ou volume, supondo que esses eventos sejam independentes e cheguem a uma taxa média constante λ: P(X = k) = e^(−λ)·λ^k / k!. Uma peculiaridade chama atenção aqui: média = variância = λ. Ela também faz as vezes da binomial(n, p) quando n é grande e p é pequeno, tomando λ = n·p. Digamos que uma padaria receba em média 3 clientes por minuto. A chance de ver exatamente 5 num dado minuto dá e^(−3)·3^5 / 120 ≈ 0,1008, cerca de 10,08%. Siméon Poisson a introduziu em 1837, e Bortkiewicz a tornou famosa depois, em 1898, ao ajustá-la às mortes por coice de cavalo no exército prussiano.
Aplicações
Pense em teoria de filas, com sistemas M/M/1 em telecom e call center, ou em decaimento radioativo, falhas em servidor e chegada de requisições. Cobre ainda mutações por gene em genômica, defeitos por metro quadrado de tecido no controle de qualidade e gols por partida no futebol, que ficam em média ~1,5 na Premier League.
Perguntas frequentes
Quando usar Poisson em vez de binomial? Quando n é grande, em geral n > 50, e p é pequeno, por volta de p < 0,1, de modo que λ = n·p fique moderado. Quanto maior n, mais próxima fica a aproximação.
Por que média igual variância? Isso está embutido na própria estrutura da distribuição. Então, se seus dados mostram variância bem acima da média (superdispersão), Poisson é simplesmente o modelo errado e o que você quer é a binomial negativa.
k pode ser não inteiro? Não. Poisson trata de contar eventos discretos, então k ∈ {0, 1, 2, …}. Se o que importa é o tempo contínuo de espera entre eventos, recorra à distribuição exponencial.
E se os eventos não forem independentes? Aí o modelo desmorona. Rajadas de chegadas agrupadas (bursts) pedem um processo de Cox ou uma binomial negativa, e contagens correlacionadas podem exigir um processo de Hawkes.
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