Distribuição Binomial

Distribuição binomial

A distribuição binomial diz qual a chance de obter exatamente k sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli, cada um com probabilidade p de dar certo: P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k), onde C(n,k) é o coeficiente binomial "n escolhe k". A média vale μ = n·p e a variância, σ² = n·p·(1−p). Imagine 10 lançamentos de uma moeda honesta. A chance de sair exatamente 7 caras é C(10,7) · 0,5⁷ · 0,5³ ≈ 0,117, ou 11,7%. Quando n cresce e tanto np quanto n(1−p) passam de 5, uma Normal(np, np(1−p)) aproxima bem o resultado, e isso é o Teorema Central do Limite em ação.

Aplicações

Aparece em testes A/B sobre taxa de conversão, na contagem de aprovados e reprovados em concursos e processos seletivos, no controle de qualidade de defeitos por lote, nas proporções mendelianas da genética, em pesquisa eleitoral e nos intervalos de confiança montados para proporções, na engenharia de confiabilidade quando se quer a chance de k falhas entre n componentes, e nos ensaios clínicos que medem resposta a tratamento.

Perguntas frequentes

Quando o modelo binomial não vale? Dois casos o quebram. Um é quando os ensaios não são independentes, como amostrar sem reposição de uma população pequena, situação em que você troca pela hipergeométrica. O outro é quando p varia de um ensaio para outro.

Binomial ou Poisson? Recorra à Poisson quando n é muito grande e p muito pequeno, mas np continua moderado, o clássico cenário de eventos raros. Nesse regime a Poisson acompanha bem a binomial.

O que é P(X ≤ k)? É a distribuição acumulada, a soma de P(X = i) para i indo de 0 até k. Serve para responder "probabilidade de no máximo k sucessos".