Autovalores de Matriz 2×2

Autovalores de matriz 2×2: equação característica

Tome uma matriz A = [[a, b], [c, d]]. Os autovalores λ são os escalares para os quais vale A·v = λ·v com algum autovetor v não nulo. Esses valores acabam sendo as raízes da equação característica det(A − λI) = 0. No caso 2×2 ela se abre em λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0, em que o traço é tr(A) = a + d e o determinante é det(A) = ad − bc. Resolvendo, chega-se à forma fechada λ = (tr ± √(tr² − 4·det)) / 2. Quem diz o tipo de resposta é o discriminante Δ = tr² − 4·det: com Δ > 0 saem dois autovalores reais distintos; Δ = 0 dá um único real repetido; Δ < 0 produz um par complexo conjugado. E, pelo teorema espectral, toda matriz simétrica tem autovalores reais e autovetores ortogonais garantidos.

Aplicações: PCA, estabilidade e mecânica quântica

Autovalores aparecem por toda a matemática aplicada. Em machine learning, sustentam a Análise de Componentes Principais (PCA), onde o maior autovalor da matriz de covariância marca a direção de variância máxima. Em sistemas dinâmicos, movem a análise de estabilidade, já que os sinais dos autovalores do Jacobiano classificam os equilíbrios. A engenharia os usa nos modos de vibração estrutural; as cadeias de Markov também dependem deles, com o PageRank apoiado no autovetor principal; na mecânica quântica os autovalores de operadores hermitianos são os observáveis; e eles reaparecem na tomografia espectral.

Perguntas frequentes

Matriz real pode ter autovalores complexos? Pode. As matrizes de rotação são o exemplo clássico, com um par conjugado sobre o círculo unitário.

O que significa autovalor zero? Que a matriz é singular e não pode ser invertida, pois det(A) = 0.

Os autovalores são únicos? O conjunto deles é. Já os autovetores ficam definidos apenas a menos de escala.

Como achar os autovetores? Para cada autovalor λ, resolva (A − λI)·v = 0.