Determinante de Matriz 2×2 / 3×3
Calcula o determinante de matrizes 2×2 e 3×3 usando regra de Sarrus. Útil para álgebra linear.
det = —
Determinante: det(A) para 2×2, 3×3 e n×n
O determinante é um escalar que resume propriedades-chave de uma matriz quadrada. Para uma matriz 2×2 [[a, b], [c, d]], det = a·d - b·c. Para 3×3 usa-se a regra de Sarrus (soma de três diagonais da esquerda para a direita menos três da direita para a esquerda) ou expansão por cofatores. Para n×n, os métodos padrão são expansão de Laplace por uma linha/coluna ou eliminação gaussiana (mais rápida, O(n³)). Exemplo: det([[2, 3], [1, 4]]) = 2·4 - 3·1 = 5. Propriedades essenciais: det ≠ 0 significa que a matriz é invertível e o sistema linear Ax = b tem solução única; det = 0 significa matriz singular e o sistema é indeterminado ou impossível. Geometricamente, |det| é o volume do paralelepípedo formado pelos vetores-linha (ou coluna) — área em 2D, volume em 3D — e o sinal indica a orientação (positivo = preserva orientação, negativo = reflexão). A regra de Cramer dá xᵢ = det(Aᵢ) / det(A) para resolver sistemas lineares.
Aplicações
Resolução de sistemas lineares (regra de Cramer), mudança de variáveis em integrais múltiplas (o jacobiano em 2D/3D), transformações lineares 2D/3D (escala, rotação, cisalhamento — o determinante indica como áreas/volumes mudam), cálculo de área de polígono pela fórmula do cadarço, computação gráfica e machine learning (PCA usa autovalores; o determinante da matriz de covariância mede a variância total e aparece na densidade gaussiana multivariada).
Perguntas frequentes
Por que det = 0 implica não ter inversa? Porque a fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det) · adj(A); dividir por 0 é impossível. Geometricamente, det = 0 significa que a matriz colapsa o espaço para uma dimensão menor (um plano vira reta, por exemplo).
Vale det(AB) = det(A)·det(B)? Sim — o determinante é multiplicativo para matrizes quadradas do mesmo tamanho. Daí também segue que det(A⁻¹) = 1/det(A).
Existe determinante para matrizes não quadradas? Não. O determinante é definido apenas para matrizes quadradas. Para retangulares, os conceitos relacionados são posto, valores singulares e o determinante de Gram det(AᵀA).
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