Matriz 2×2 Det e Inversa
Calcule o determinante e a matriz inversa de uma matriz 2×2 informando os quatro elementos. Veja o passo a passo e o resultado exato em frações ou decimais.
det + inversa
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Determinante e inversa de matriz 2×2
Pegue uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]]. O determinante dela é det(A) = ad - bc, e onde existe inversa ela fica A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, -b], [-c, a]]. Dá para inverter a matriz exatamente quando det(A) ≠ 0. Se det = 0 a matriz é singular, o que é só outra forma de dizer que suas colunas são linearmente dependentes.
Exemplo: com A = [[1, 2], [3, 4]], você obtém det = 1·4 - 2·3 = -2, o que dá A⁻¹ = (-1/2)·[[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [1,5, -0,5]]. Para conferir, basta multiplicar de volta: A · A⁻¹ = I.
Aplicações
Essas matrizinhas aparecem em todo canto. Elas resolvem sistemas lineares de duas incógnitas, seja pela regra de Cramer ou por x = A⁻¹b. Na computação gráfica codificam transformações lineares 2D como rotações, escalas e cisalhamentos. Surgem na análise de componentes principais (PCA) quando se trabalha com a covariância de duas variáveis, e os autovalores de uma matriz 2×2 de sistema contam sobre a estabilidade de sistemas de EDO lineares 2D.
Perguntas frequentes
O que det = 0 significa geometricamente? Quer dizer que as colunas de A ficam paralelas (linearmente dependentes), então a transformação achata o plano inteiro até uma reta ou mesmo um único ponto. Toda área que existia some.
O que o determinante mede? É o fator com sinal pelo qual as áreas são escaladas depois de aplicada a transformação linear. Um det negativo avisa que a orientação se inverteu, ou seja, houve uma reflexão.
Como resolver Ax = b? Desde que det(A) ≠ 0, a resposta é x = A⁻¹ · b. Se preferir não inverter, a regra de Cramer chega lá com dois determinantes 2×2.
A fórmula vale para matrizes maiores? A versão geral, A⁻¹ = adj(A)/det(A), vale para qualquer n×n. Só que, a partir de n = 3, calcular a adjunta fica lento e a eliminação de Gauss–Jordan costuma ser o caminho mais rápido.
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