Calculadora de determinante de matriz 3x3
Calcula o determinante de uma matriz 3x3 a partir de seus 9 elementos digitados em linha.
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Determinante 3×3: regra de Sarrus e expansão de Laplace
Para uma matriz 3×3 [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]] a regra de Sarrus dá det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi: some as três diagonais da esquerda para a direita e subtraia as três da direita para a esquerda. Dá para usar também a expansão de Laplace por cofatores. Expandindo na primeira linha, fica det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg), o mesmo número escrito como sub-determinantes 2×2. Para ver com números: |[1, 2, 3]; [4, 5, 6]; [7, 8, 10]| = 1·(50 - 48) - 2·(40 - 42) + 3·(32 - 35) = 2 + 4 - 9 = -3. Aqui vale a mesma leitura de qualquer dimensão. Quando det ≠ 0, a matriz é invertível e as três linhas (ou colunas) são linearmente independentes; quando det = 0, elas são coplanares e a matriz é singular. Lembre que Sarrus só funciona para 3×3. Para 4×4 ou maior, recorra a Laplace ou à eliminação gaussiana.
Aplicações
Ele sustenta a regra de Cramer para sistemas 3×3 e fornece o volume do paralelepípedo formado por três vetores 3D (|det|). É o jacobiano em mudanças de variável em integrais triplas (esféricas, cilíndricas), uma forma alternativa de obter a magnitude do produto vetorial e algo que aparece bastante em computação gráfica 3D (testes de orientação, interseção raio-triângulo). A geometria analítica também o usa, para testar colinearidade e coplanaridade.
Perguntas frequentes
Sarrus funciona para 4×4? Não. O truque das diagonais é uma coincidência que vale para 3×3 e nada além disso. A partir de 4×4, use Laplace ou redução por linhas.
O que o sinal do determinante me diz? Um valor positivo indica que os três vetores formam uma base dextrógira, de orientação positiva. Negativo significa levógira. De um jeito ou de outro, a magnitude é o volume, qualquer que seja o sinal.
Existe um jeito mais rápido para matrizes grandes? Sim. A eliminação gaussiana calcula det em O(n³): reduz à forma triangular e multiplica os pivôs. Já Laplace é O(n!).
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