Calculadora de determinante de matriz 3x3

Determinante 3×3: regra de Sarrus e expansão de Laplace

Para uma matriz 3×3 [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]] a regra de Sarrus dá det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi (soma das três diagonais da esquerda para a direita menos as três da direita para a esquerda). Equivalentemente, a expansão de Laplace por cofatores na primeira linha dá det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) — mesmo valor, escrito como sub-determinantes 2×2. Exemplo: |[1, 2, 3]; [4, 5, 6]; [7, 8, 10]| = 1·(50 - 48) - 2·(40 - 42) + 3·(32 - 35) = 2 + 4 - 9 = -3. Como em qualquer dimensão, det ≠ 0 significa que a matriz é invertível e as três linhas (ou colunas) são linearmente independentes; det = 0 significa que são coplanares e a matriz é singular. Sarrus só funciona para 3×3 — para 4×4 ou maior use Laplace ou eliminação gaussiana.

Aplicações

Regra de Cramer para sistemas 3×3, volume do paralelepípedo formado por três vetores 3D (|det|), jacobiano em mudanças de variável em integrais triplas (esféricas, cilíndricas), magnitude do produto vetorial (formulação alternativa), computação gráfica 3D (testes de orientação, interseção raio-triângulo) e geometria analítica (testes de colinearidade e coplanaridade).

Perguntas frequentes

Sarrus funciona para 4×4? Não — o truque das diagonais é coincidência válida só para 3×3. A partir de 4×4 use Laplace ou redução por linhas.

O que o sinal do determinante me diz? Positivo significa que os três vetores formam uma base dextrógira (orientação positiva); negativo, levógira. A magnitude é o volume, independente do sinal.

Existe um jeito mais rápido para matrizes grandes? Sim — a eliminação gaussiana calcula det em O(n³) reduzindo a forma triangular e multiplicando os pivôs, enquanto Laplace é O(n!).