Calculadora de perímetro de elipse Ramanujan II
Calcula o perímetro de uma elipse a partir dos semi-eixos a e b usando a segunda aproximação de Ramanujan.
—
Perímetro da elipse — segunda aproximação de Ramanujan
Em 1914 Ramanujan também publicou uma segunda aproximação, mais refinada, para o perímetro da elipse: P ≈ π(a + b)·(1 + 3h² / (10 + √(4 − 3h²))), onde h = ((a − b)/(a + b))². A precisão impressiona. O erro relativo fica abaixo de 0,0001% para praticamente qualquer elipse que você vá encontrar, e só começa a piorar perto do limite degenerado da elipse achatada. Isso a deixa bem mais precisa que a primeira fórmula de Ramanujan, e é o que a maioria usa quando precisa de alta precisão mas prefere não calcular a integral elíptica numericamente. Com a = 7 e b = 4, h fica em torno de 0,0735 e P ≈ 35,622.
Aplicações
A balística orbital usa a fórmula para achar o comprimento da trajetória de satélites e sondas interplanetárias, casos em que o cronograma se mede em milissegundos e depende da precisão do perímetro. O projeto de estádios e pistas recorre a perímetros elípticos de alta precisão para escalonar os comprimentos das raias. E no design industrial ovalado, pense em vasos de pressão, faróis automotivos, espelhos ópticos, é a fórmula que permite cortar o material no comprimento certo sem desperdiçar quase nada.
Perguntas frequentes
Como ela se compara à primeira fórmula de Ramanujan? A primeira fica em ~0,01%. Esta corta isso em duas ordens de magnitude, chegando a cerca de ~0,0001% para excentricidades moderadas.
O que representa h? É uma razão adimensional ao quadrado entre a diferença e a soma dos semieixos. Quando h = 0 você tem um círculo perfeito; conforme h → 1, a elipse degenera.
Quando vale usar a integral elíptica exata? Na real, só quando a excentricidade fica muito alta (acima de ~0,99) ou quando você precisa de precisão abaixo de 1 ppm. Para o trabalho de engenharia do dia a dia, Ramanujan II dá conta.
Ferramentas Relacionadas
Perímetro de Elipse (Ramanujan)
Aproximação de Ramanujan para o perímetro da elipse: P ≈ π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]. Mais precisa que (2π·média).
Área e Perímetro de Elipse
Calcula área A = π·a·b e perímetro aproximado (Ramanujan) de uma elipse dados os semi-eixos a e b.
Calculadora de Quantidade de Calhas e Rufos por Perimetro
Calcule quantos metros lineares de calhas e rufos comprar para um telhado a partir do perímetro. Dimensione o material certo para o escoamento da chuva.
Put Americana (Barone-Adesi-Whaley)
Calcula o preço de uma opção de venda americana pela aproximação quadrática de Barone-Adesi-Whaley. Diferente da put europeia, a americana pode ser exercida a qualquer momento, e esse direito tem valor — o chamado prêmio de exercício antecipado. O método encontra, por iteração, o preço crítico abaixo do qual exercer já compensa, e acrescenta esse prêmio ao valor da put europeia. É rápido e preciso, sem precisar de árvore binomial. Informe o preço à vista, o strike, a taxa, o custo de carregamento, a volatilidade e o prazo.
Calculadora de área de círculo e elipse
Calcula a área de um círculo dado o raio e de uma elipse dados os semi-eixos a e b.
Altura da Superfície de Aproximação
Calcula a altura de uma superfície de aproximação (ou de outra superfície limitadora de obstáculos) a uma dada distância, h = (gradiente ÷ 100) · distância, a partir do gradiente da rampa (em %) e da distância horizontal medida a partir do início da superfície (m). As superfícies limitadoras de obstáculos (OLS — Obstacle Limitation Surfaces) são planos imaginários inclinados que se projetam a partir das cabeceiras e ao redor das pistas, definidos pela ICAO, que delimitam o espaço aéreo que deve permanecer livre de obstáculos para garantir a segurança das operações de pouso e decolagem. A superfície de aproximação, por exemplo, sobe com um gradiente típico de 2% (1:50) a partir do fim da faixa de pista; qualquer objeto (edifício, antena, árvore, terreno) que perfure essa superfície é um obstáculo que deve ser removido, rebaixado, sinalizado/balizado ou, em último caso, levar a restrições operacionais. Este cálculo determina a altura máxima permitida da superfície em cada ponto, para comparar com a altura real de obstáculos existentes ou propostos no entorno do aeroporto — base do controle do uso do solo nas zonas de proteção aeroportuária e da análise de novos empreendimentos (a famosa avaliação de 'objeto projetado no espaço aéreo'). Informe o gradiente e a distância.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.