Binomial P(X=k)

Probabilidade binomial P(X = k)

A distribuição binomial conta quantos sucessos aparecem em n ensaios independentes de Bernoulli, cada um com probabilidade p de dar certo: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k), onde C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) é o coeficiente binomial. A média fica em μ = n·p e a variância em σ² = n·p·(1−p). Pegue 10 lançamentos de uma moeda honesta e pergunte por exatamente 7 caras: C(10, 7) · 0,5⁷ · 0,5³ = 120/1024 ≈ 0,117, ou seja 11,7%. Quando n é grande o bastante para np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5, uma Normal(np, np(1−p)) já aproxima bem, o que decorre do Teorema Central do Limite.

Aplicações

Testes A/B usam o modelo para contar conversões, o controle de qualidade para contar itens defeituosos num lote e a genética mendeliana para prever proporções na prole. Ele também aparece na pesquisa eleitoral (a margem de erro de uma proporção), na comunicação digital (taxa de erro de bit, ou BER), nos ensaios clínicos que medem resposta a tratamento e na engenharia de confiabilidade, onde dá a chance de k falhas entre n componentes.

Perguntas frequentes

Quando o modelo binomial não vale? Em dois casos. Um é quando os ensaios não são independentes, como na amostragem sem reposição de uma população pequena, situação em que a hipergeométrica é o modelo certo. O outro é quando p muda de um ensaio para o outro.

Binomial ou Poisson? Escolha Poisson quando n é muito grande e p muito pequeno, mas np continua moderado. Esse é o regime de eventos raros, e ali a Poisson acompanha bem a binomial.

P(X ≤ k) vs P(X = k)? P(X = k) é a chance de obter exatamente k sucessos. Já P(X ≤ k) é a versão acumulada, a soma de P(X = i) de i = 0 até k, que responde "no máximo k sucessos".